量子场的真空具有零点能常常是件令人遐想之事，有人因此喜欢使用“真空不空”这样的惊人之语。不过，这种完全免费的“资源”非但不能帮助我们解决任何能源危机问题，倒反而处处充当着麻烦制造者的角色，特别是当我们把引力也考虑在内时。

如所周知，零点能起因于量子涨落。一个经典的物理自由度的最低能量通常是在它的一组力学量同时取某些特殊的值时才能达到的 -- 例如当谐振子系统达到最小能量时，其位置处于弹性力的平衡点，同时其动量为零。然而，在量子理论中，测不准原理往往禁止同时固定这些力学量之值。所以考虑了量子效应后，能量最小值有时会比经典的预计有所增加，其大小正比于这个自由度的特征频率ω，即 E0 ≈ hω/4π。当然，量子力学中的这种零点能并不总是可以随心所欲地扔掉 -- 它的存在对解释象“液氦为何不会冻结成固体”这一类物理现象时是至关重要的。

量子场论处理的无非是包含无限多个自由度的量子力学系统。这些自由度的特征频率随着它们的波长λ=2π/|k| 减小而增大，其色散关系为ω＝ωk≡(k2 + m2)1/2。如果时空是一块连续体（象爱因斯坦的经典几何描述的那样），那么将会有任意的小波长在空间中传播，真空零点能来自所有这些自由度的贡献。对于玻色场，弱耦合极限下它为（忽略可能的极化）E0 = ∑k hωk/4π；费米场则相差一个符号。这个无穷和式中的项并无上界：当 λ → 0时 ω → ∞，故最终得到的是发散的结果。如果我们在空间 R3 上引入红外截断 L，它允许场的最大半波长取 λmax/2 = L，而将各种“泛音”波长量子化为λn = λmax/n，n = 1，2，... 这样，根据色散关系，零点能可以写成：

E0(L) = (h/4π) ∑n,p,q≥1 [(nπ/L)2 + (pπ/L)2 + (qπ/L)2 + m2]1/2 = ∞.
这种发散显然来自紫外，红外截断并不能消除发散。

假若所考虑的系统不包含引力，那么人们能够在不引起其它困难的前提下回避（而不是解决）上述零点能发散问题。仿照质量在概念上有“惯性、引力”之分，我们不妨暂时把能量所扮演的角色依其功能也划为两类，即“力学能量”和“引力能量”（它们在数值上当然应该相等）。后者仅仅是引力场的荷（源），大小由其所产生的场强测定，故不考虑引力时可忽略不计。“力学能量”则是运动方程的首次积分，从量子角度看它为哈密顿算子的本征值，它不象“规范荷”那样与传递相互作用的任何场发生耦合。这种区分并不新鲜，实际上以前在读教本时必定碰到过，-- 回顾能量-动量张量的两种定义：它既能够定义成时空平移下的Noether 流（力学量），又可以看成是作用量对度规的变分（引力源）。在第一种定义中，数学上算出的 Noether 流未必是个对称张量，因此常常需要将其对称化，构造一个所谓 Belinfante 张量，以符合等效原理之要求（因为作为引力源的能量-动量张量，即作用量对度
规的变分，总是对称的）。不过，依我看，当人们不关心所考虑的场论系统的任何引力效应时，这种对称化手续完全是多此一举。在不含引力的普通量子场论中我们谈的实际上都是“力学能量”，就好比牛顿力学中，凡用不到万有引力定律的地方，出现的质量都是惯性质量。

普通量子场论中算符的时间演化是由该算符与哈密顿量的对易子给出的。当哈密顿量移动一个常数时，运动方程保持不变，因此我们得到如下的结论：场论系统的“力学能量”本身的定义可以相差到任一固定的常数，惟有这些能量之间的差值才具观测上的意义。换言之，能谱 E0，E1，E2，... 与 E0 + C，E1 + C，E2 + C，... 在不含引力的物理系统中是完全等价的。（超对称量子场论是个例外，这种系统要求哈密顿量能够写成超荷之间的反对易子，而该形式当哈密顿量作了任意的常数移动后不能得到保持。）对于这样的系统人们可以选择C = -E0 来消除任何可能出现的零点能。因此普通量子场论中的真空能量无法也不必确定，原则上总可将其设置成零。

谈到这儿你可能会有点疑惑：如果真是这样的话，那么在时空 R1,2 × [0,a] 上计算量子场的真空 Casimir 能量还有什么意义呢？回答这个问题最好的办法是边思考一个理想实验，边动手做点计算。为简单计，考虑零质量的量子场 m = 0。假定实验开始于 Minkowski 时空 R1,3 之中。当量子场系统趋于真空态 |0〉时，你把能量(密度)读表的指针校正为零。这在理论计算中对应于扔掉 R1,3 上量子场的零点能 E0(L)。现在，你在 R1,3 中的 z = 0 和 z = a 两处各放置一块相互平行的金属板，使得金属板之间的量子场定义在新的时空 R1,2 × [0,a] 上，相应的真空态记成 |0a＞。当你用校正过的读表去测定 |0a＞ 的零点能密度时，得到的读数将是一个差值

δρ0 = ρ0(a) - ρ0(L),       (L → ∞)

其中每项都可以表示成对Schwinger参数τ的积分（参数τ出现在波矢幂函数 |k|-2s 的积分表示

 Γ(s)-1 ∫0∞ dτ τs-1 exp(-k2τ) 之中，因此它具有面积量纲）：
ρ0(z) = - h/(8π3/2 L2 z) ∑n,p,q≥1 ∫0∞ dτ τ-3/2 exp{- [(nπ/L)2 + (pπ/L)2 + (qπ/z)2]τ}

正如可以预计的那样，这些项在紫外端τ≈ 0 发散。为了分析发散行为，让我用一下泊松求和公式：

∑n≥1 exp(-π2n2τ/L2) = (L2/πτ)1/2 [1/2 - (πτ)1/2/(2L) + ∑n≥1 exp{-n2L2/(πτ)}]
容易看出当 L 很大时上述和式渐近地为 (4πτ)-1/2 L。然后我们引入一个紫外截断因子 exp(-qπε/z)，将积分正规化为
ρε(z) = - h/(32π5/2z) ∑q≥1 ∫0∞ dτ τ-5/2 exp{- [(qπ/z)2τ + qπε/z]} = - h/(24π2z) ∑q≥1 (qπ/z)3 exp(- qπε/z) = - h/(24π2z) {[exp(πε/z) - 1]-1}'''
其中 ()''' 表示对ε求三次导数。进一步，我们把待求导的式子用伯努里数展开后逐项求导，发现当ε→0 时 ρε(z) 仅有的发散来自首项，其值为 -h/(4π3ε4)。这个发散与变量z 无关，因此它在差值 ρε(a) - ρε(L) 中抵消。随后的三项在求导过程中消失了，第四项给出非零结果 πB4h/(96z4) = -πh/(2880z4)，而以后各项均是ε的正幂，它们当紫外
截断撤去时均无贡献。这样，最终得到的 Casimir 能量密度为 δρ0 = -πh/(2880a4)      或      δE0/L2 = -πh/(2880a3)这是电磁场标准结果的1/2，原因在于电磁场的计算中需要考虑两种不同的极化自由度。

如果在完成这个测量之前你的读表指针不幸弄乱了，或者你以前没在 R1,3 中校正读表，那么拿这样的读表去测 |0a＞ 的零点能就不会给出任何有意义的数据。倘若此刻你无法回到R1,3 中重新校正读表但又想接着做实验，怎么办？你不妨以真空态 |0a＞ 为新的基准将读表指针清零，然后将金属板的位置从 z = a 变动到新位置 z = a'，再用清过零的读表测定|0a'＞ 的零点能。这个讨论的要点是 Casimir 效应中可观测的部分为能量的差值而非能量本身的绝对数值。在实际进行的实验中，人们测的正是金属板之间的力，即能量对 a 的变化率。

当上述场论系统计及引力的耦合时，量子场的能量既是“力学能量”，同时更是“引力能量”，所以它的绝对数值作为引力场的“规范荷”有了测量上的直接含义。这时前面谈到的真空能量（密度）发散问题在物理上就无法轻描淡写地回避掉。对能量-动量张量的量子期望值用重正化方法消除发散的各种努力都基于减除法，在此过程中可能扔掉了与引力耦合的真空能量的部分贡献，人们甚至不知如何才能确切地定义这部分能量。

有一种潜在的手段可以克服零点能的困难：超对称量子场论。在这类场论中，玻色自由度与费米自由度一一对应并具有同样的质量和色散关系，它们对零点能的贡献在数值上相等但差一个符号，故彼此互为抵消，最终得到的真空总能量精确地为零。从超对称量子场论哈密顿量的表达式 H = {Q+, Q} 中也容易看出这一点。事实上，当场论的真空 |0〉超对称未破坏，即 Q|0〉= 0 时，我们有 〈0| H |0〉= 0。因此超对称的引入是消除场论中零点能的歧义
性（或发散困难）重要的途径。为了得到非零（有限而确定）的真空能量，只需要让真空的超对称在某个质量标度 MSUSY ≠ 0 处发生破缺，使〈0| H |0〉≈ MSUSY. 这在理论上总是可以做到的，然而就此引发了一个和观测有关困难：为何由宇宙学常数的观测所估算的零点能上限与加速器的实验结果所预言的 MSUSY 下限之间存在着巨大的差别？这就是著名的宇宙学常数问题，或等级问题。